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设z=f(xy,xy)+g(xy),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求? 2z? x?...

由题意,?z ?y = f ′1 x?x y2 f ′2 ,而f具有二阶连续偏导数 ∴?2z ?x?y =?2z ?y?x ,f″12=f″21 ∴?2z ?x?y =?2z ?y?x =? ?x (f′1x?x y2 f′2)=f′1?f ′2 y2 +f″11xy+ x y f′′12?x y f″21?x y3 f″22=f′1?f ′2 y2 +f″11xy?x y3 f″22.

^解:Z/X=yf'1+(1/y)f'2-(y/x^2)g' ^2Z/ X Y=f'1+y[xf''11-(x/y^2)f''12]-(1/x^2)g'-(y/x^2)(1/x)g'' = f'1+y[xf''11-(x/y^2)f''12]-(1/x^2)g'-(y/x^3)g'' 注:f'、f''后的数字1、2为下脚标; x、y后的2、3为x、y的2、3次方 找不到那些标注,只能加以说明了.有用的话请采纳!

令u=x+y ,v=xy记f'1=df/du;f'2=df/dv;f''12=d^2f/dudvdz/dx=f'1+yf'2d^2/z/dxdy=f''11+(x+y)f''12+xyf''22+f'2中间过程略

注意f1,f2仍然是x+y,xy的函数,有复合函数求导(f1+f2)'y=f11+f12*x+f2+y(f21+f22*x)=f11+f12*(x+y)+f2+f22*xy

dz/dx(用d表示偏导符号)=f'(2x-y)*2+g'1(x,xy)*1+g'2(x,xy)*y=2f'(2x-y)+g'1(x,xy)+y*g'2(x,xy)=2f'(2x-y)+g'1+yg'2(简单记法,g'1表示g对第一个变量的偏导数,g'2表示g对第二个变量的偏导数)则d(dz/dx)/dy=-2f''(2x-y)+g''11*1+g''12*y+y*(g''21+g''22*y)=-2f''(2x-y+g''11+y*g''12+y*g''21+y^2*g''22(g''12表示g先关于第一个变量求偏导,再对第二个变量求偏导,其它的类似)实属转载

这种复合函数求高阶导数时,一定要记住z=f(u,v)求得的一阶导数f'1,f'2仍然是关于u,v的复合函数,因此对其再求导时仍然要按照复合函数求导法则进行.本题中u=x,v=x/y,因此f'2写全了应该是f'2(u,v),对x再次求导,应该等于f'21*u'x+f'22*v'x,而u'x=1,v'x=1/y,带回去就是那个结果了.

z对y的一阶偏导数应该是xf1+f2

z=f(x^2,g(y/x)) az/ax=f`1(2x)+f`2g`(y/x)(-y/x) =2xf`1-y/xf`2 g`(y/x) a^2z/axay=2x[f``11*0+f``12g`(y/x)(1/x)]-{1/xf`2g`(y/x)+y/xg`(y/x)[f``12*0+f``22g`(y/x)/x]+y/xf`2g``(y/x)/x}=2x[f``12g`(y/x)(1/x)]-{1/xf`2g`(y/x)+y/xg`(y/x)[f``22g`(y/x)/x]+y/xf`2g``(y/x)/x}

z对x的一阶偏导等于yf'u 所以答案就是f'u+y(xf"uu+f"uv) 这个其实就是高数里面的隐函数求导问题一类的,其实很简单的,不过要注意,避免求二阶时出错咯

对方程 z = f(y/x,x+2y)的两端求微分,得 dz = f1*[(xdy-ydx)/x]+f2*(dx+2dy) = [-(y/x)f1+f2]dx+[(1/x)f1+2*f2]dy,得到 Dz/Dx = -(y/x)f1+f2,Dz/Dy = (1/x)f1+2*f2,于是 Dz/DxDy = (D/Dx)(Dz/Dy) = (D/Dx)[(1/x)f1+2*f2] = [(-1/x)*f1+(1/x)*[-(y/x)f11+f12]+2*[(1/x)f21+2*f22] = …….

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